Bijections entre un segment et un demi-cercle

Il peut sembler paradoxal qu'un segment et un demi-cercle de longueurs différentes, puissent avoir le même nombre de points. Pourtant, il suffit de trouver une construction géométrique qui permette de visualiser une correspondance point à point (appelée bijection en mathématique) entre ces deux lignes pour se convaincre qu'il y a bien le même nombre de points dans chaque ligne.
Pour cela, on peut placer ces deux lignes comme ci-dessous.

Afin de mieux comprendre cette correspondance, déplacez les points $M$ et $N$ pour visualiser l'unique point correspondant sur l'autre ligne. Les deux lignes n'ont manifestement pas la même longueur. Pourtant, à chaque point $N$ du segment correspond un seul point $N'$ sur le demi-cercle. Cela signifie que nous avons une application du segment $\overline{CD}$ vers le demi-cercle $C_1$.
Inversement, quel que soit le point $M$ que vous choisissez sur le demi-cercle $C_1$, il lui correspond un unique point $M'$ sur le segment $\overline{CD}$. La réciproque de l'application de $\overline{CD}$ vers $C_1$ est donc également une application. Par conséquent, il s'agit d'une bijection qui met en relation les deux lignes.
Ces deux ensembles de points ont donc le même cardinal, que CANTOR a noté $\aleph _1$. On dit d'un ensemble ayant un tel cardinal, qu'il a la puissance du continu.


Rem1 : Normalement une seule demi-droite est nécessaire pour représenter la bijection, mais comme en géométrie dynamique, il est impossible de déplacer à la souris le point $M$ et le point $M'$, j'ai donc choisi de représenter une autre demi-droite afin de pouvoir déplacer directement un point de l'autre ligne.
Rem2 : Si les droites $AC$ et $BD$ sont parallèles, il suffit de considérer la droite parallèle à ces droites comme ci-dessous :

Rem3 : Pour être plus précis, dans le cas d'ensembles infinis, on dit plutôt qu'ils ont même cardinal (ou même puissance) plutôt que même nombre de points.