Bijection entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{N}^2$

Alors que l'on pourrait penser qu'il y a beaucoup plus de couples d'entiers que d'entiers, CANTOR a montré qu'il n'en était rien en les comptant en diagonale. Pour ceux qui ressentiraient le besoin d'avoir une expression mathématique explicite, en voici une. J'ai choisi de vous montrer sur l'animation un polynôme de degré 2.
$N=f\left( {x,y} \right) = \frac{{\left( {x + y} \right)}}{2}\left( {x + y + 1} \right) + x$
Déplacer le point  $Q$ afin de parcourir une partie de $\mathbb{N}^2$ et regarder à quel nombre entier il correspond. Vous remarquerez qu'à chaque couple de $\mathbb{N}^2$ correspond un seul nombre entier. Nous avons donc une application de $\mathbb{N}^2$ vers $\mathbb{N}$.
Bien sûr par symétrie $f\left( {y,x} \right) =g\left( {x,y} \right) = \frac{{\left( {x + y} \right)}}{2}\left( {x + y + 1} \right) + y$ fonctionne aussi. Mais il y en a d'autre comme $h\left( {x,\;y} \right) = {2^x}\left( {2y + 1} \right) - 1$.




Réciproquement, maintenant vous pouvez déplacer le point $N$, et observer la position du point $Q$. À chaque valeur de $N$ correspond une seul couple de $\mathbb{N}^2$. Nous avons donc une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}^2$.


Conclusion, au final nous avons bien une bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}^2$. C'est une espèce de cas particulier discret de la bijection entre  $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$.

Attention : Nous n'avons pas démontré la bijection entre l'ensemble des nombres rationnels positifs et l'ensemble des nombres entiers naturels car on ne peut pas identifier directement $\mathbb{Q}^+$ à $\mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$. En effet, le problème vient du fait qu'il existe plusieurs écritures (fractions) pour représenter un même nombre rationnel.
Donc, l'association présentée ici ne serait plus injective car on compterait plusieurs fois le même nombre rationnel. Cependant, en utilisant toujours le principe de compter en diagonale mais en faisant attention de ne pas compter plusieurs fois des fractions équivalentes, on peut dénombrer l'ensemble des nombres rationnels positifs $\mathbb{Q}^+$.

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