Bijection entre deux cercles de rayons différents

Il peut sembler paradoxal que deux cercles de rayons différents, puissent avoir le même nombre de points. Pourtant, il suffit de trouver une construction géométrique qui permette de visualiser une correspondance point à point (appelée bijection en mathématique) entre ces deux lignes pour se convaincre qu'il y a bien le même nombre de points dans chaque cercle.
Pour cela, on peut placer ces deux cercles de façon concentrique puis tracer une demi-droite ayant pour origine le centre des cercles comme ci-dessous.

Loïc Geeraerts, 4 Avril 2013, Created with GeoGebra

Afin de mieux comprendre cette correspondance, déplacez les points $M$ et $N$ pour visualiser l'unique point correspondant sur l'autre cercle. Les deux cercles n'ont manifestement pas la même longueur. Pourtant, à chaque point $N$ de $C_1$ correspond un seul point $N'$ de $C_2$. Cela signifie que nous avons une application du cercle $C_1$ vers le cercle $C_2$.
Inversement, quel que soit le point $M$ que vous choisissez sur le cercle $C_2$, il lui correspond un unique point $M'$ sur le cercle $C_1$. La réciproque de l'application de $C_1$ vers le cercle $C_2$ est donc également une application. Par conséquent, il s'agit d'une bijection qui met en relation les deux cercles.
Ces deux ensembles de points ont donc le même cardinal, que CANTOR a noté $\aleph _1$. On dit d'un ensemble ayant un tel cardinal, qu'il a la puissance du continu.


Rem1 : Normalement une seule demi-droite est nécessaire pour représenter la bijection, mais comme en géométrie dynamique, il est impossible de déplacer à la souris le point $M$ et le point $M'$, j'ai donc choisi de représenter une autre demi-droite afin de pouvoir déplacer directement un point de l'autre cercle.
Rem2 : Ce paradoxe avait été relevé par Galilée.
Rem3 : Pour être plus précis, dans le cas d'ensembles infinis, on dit plutôt qu'ils ont même cardinal (ou même puissance) plutôt que même nombre de points.