Bijection entre une droite et un demi-cercle

Pour montrer qu'une droite et un demi-cercle ont même cardinal, il suffit de trouver une construction géométrique qui permette de mettre en relation ces deux ensembles point à point.
Pour cela, on peut tracer une demi-droite ayant pour origine le milieu du segment $\overline {TS}$ comme ci-dessous.
Déplacer les points $M$ et $N$ afin de visualiser l'unique point correspondant sur l'autre ligne. Le demi-cercle a une longueur finie, alors que la droite a une longueur infinie (si tant est quelle en ait une). Pourtant, à chaque point $N$ de la droite correspond un seul point $N'$ du demi-cercle. Cela signifie que nous avons une application de la droite vers le demi-cercle.
Inversement, quel que soit le point $M$ que vous choisissez sur le demi-cercle privé de ses extrémités, il lui correspond un unique point $M'$ sur la droite. La réciproque de l'application de tout à l'heure est donc également une application. Par conséquent, cette application est une bijection qui met en relation le demi-cercle sans ses extrémités et la droite.
Ces deux ensembles de points ont donc même cardinal. On dit aussi qu'ils ont tous les deux la puissance du continu que CANTOR a noté ${\aleph _1}$.

Loïc Geeraerts, 12 April 2013, Created with GeoGebra

Concernant le problème des extrémités, il faut se poser la question : que devient le cardinal de l'union d'un ensemble qui a la puissance du continu avec un autre ensemble constitué de deux éléments ?
La réponse est bien sûr ${\aleph _1}$, ce que l'on peut traduire par ${\aleph _1} + 2 = {\aleph _1}$. Ainsi, le demi-cercle (extrémités comprises) a bien le même cardinal que la droite.

Rem1 : En fait, le point $O$ peut se situer n'importe où sur le segment $\overline {TS}$ privé de ses extrémités. Par contre, s'il se situe sur $TS\backslash \overline {TS}$, l'un des deux sens de la relation ne sera plus fonctionnel puisqu'il existera des points de la droite qui auront deux images sur le demi-cercle. Ce qui revient au même que de dire que la relation réciproque ne sera pas injective. En plus, certains points de la droite ne seront reliés à aucun point du demi-cercle.

Rem2 :  $\forall n \in \mathbb{N},\;{\aleph _1} + n = {\aleph _1}$