Bijection entre un segment et un carré

Bien que cela semble peut probable qu'un carré et l'un de ses côtés aient le même cardinal, CANTOR a montré que c'était bien le cas. Cela l'a tellement étonné qu'il a écrit le 29 juin 1877 à son ami DEDEKIND, dans une correspondance restée célèbre : "je le vois mais je ne le crois pas".
Plus précisément, CANTOR a mis en bijection $\left[ {0\;;\;1} \right]$ avec $\left[ {0\;;\;1} \right]^2$.
Cette fois-ci nous n'allons pas utiliser une construction géométrique, mais une construction arithmétique qui consiste à intercaler certaines décimales entre elles.
Prenons un élément quelconque $G$ de $\left[ {0\;;\;1} \right]$. Ce nombre s'écrit $0,{d_1}{\kern 1pt} {d_2}{\kern 1pt} {d_3}{\kern 1pt} {d_4}{\kern 1pt} {d_5}{\kern 1pt} {d_6} \cdots$. En prenant une décimale sur deux, on peut construire deux autres nombres : $0,{d_1}{\kern 1pt} {d_3}{\kern 1pt} {d_5}{\kern 1pt}  \cdots$ et $0,{d_2}{\kern 1pt} {d_4}{\kern 1pt} {d_6}{\kern 1pt}  \cdots$
élément de $\left[ {0\;;\;1} \right]$. Si l'on considère maintenant le point de coordonnées $\left( {0,{d_1}{\kern 1pt} {d_3}{\kern 1pt} {d_5}{\kern 1pt}  \cdots {\kern 1pt} \;;\;0,{d_2}{\kern 1pt} {d_4}{\kern 1pt} {d_6} \cdots } \right)$, on a bien fabriqué un point $H \in \left[ {0{\kern 1pt} \,;\,1} \right]^2$.

Déplacer le point $G$ et observer son image dans le carré. À chaque point du segment correspond un unique point du carré. C'est donc une application de $\left[ {0\;;\;1} \right]$ dans $\left[ {0\;;\;1} \right]^2$. On remarquera que deux points différents du segments ont forcément au moins une décimale différentes, donc au moins une des deux coordonnées du point $H$ sera également différente. Donc, c'est une application injective.


Rem1 : écriture double pour les décimaux.
Rem2 : il y a un bug quand $G = 1 = 0,\bar 9$. En effet, le point $H$ devrait se trouver en $\left( {1\;;\;1} \right)$ et non en $\left( {0\;;\;0} \right)$.

Réciproquement, maintenant vous pouvez déplacer le point $H$, et observer la position du point $G$. Chaque point du carré a une seule image sur le segment. Nous avons donc une application de $\left[ {0\;;\;1} \right]^2$ dans $\left[ {0\;;\;1} \right]$.


Conclusion, au final nous avons bien une bijection de $\left[ {0\;;\;1} \right]$ dans $\left[ {0\;;\;1} \right]^2$. De plus comme les segments sont en bijection avec les droites, nous avons une bijection entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$.
Autrement dit, les droites et le plan ont le même cardinal. C'est une espèce de généralisation au continu de la bijection entre  $\mathbb{N}$ et $\mathbb{N}^2$.

4 commentaires:

  1. Waouh ! ;D ! Excellent. C'est limpide.

    Merci d'avoir pris le temps d'éditer cette page. Geogebra complète parfaitement Wikipedia.

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  2. bonjour,si j'ai bien compris, on utilise toujours une représentation décimale avec une infinité de 99 à la fin. Par ex: le nombre 0.5 sera représenté par 0.49999999.... jamais d'écriture décimale ??

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  3. bonjour, on utilisera toujours une écriture avec une infinité de 9 à la fin. Donc 0.5 sera représenté par 0.49999999999... C'est bien cela.

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  4. Bonjour,
    Votre question est intéressante puisque si l'on considère le développement décimal propre de 0,5 on obtient 0,50000000... Cela donne le point de coordonnées (0,5000... ; 0,0000...) = (0,5 ; 0)
    Or si l'on considère le développement décimal impropre de 0,5 on obtient 0,49999... Cela ne donne pas le même point (0,4999... ; 0,9999...) = (0,5 ; 1)
    Il faudrait que j'aille vérifier dans les documents historiques mais je crois me rappeler que Cantor avait bien choisi cette dernière méthode pour construire sa bijection.
    Je crois me rappeler que dans une lettre adressée à CANTOR, DEDEKIND avait soulevé un problème relatif au choix du développement décimal et qu'il avait dit que connaissant son ami CANTOR, ce dernier avait certainement déjà dû y avoir penser :) sans sa remarque.

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