Compter et dénombrer un ensemble fini

Comme beaucoup d'actions que nous réalisons depuis que nous sommes enfants, dénombrer une collection d'objets nous semble tellement "évident" qu'il nous ait souvent difficile d'expliciter les différents processus mis en œuvre.
Trouver le nombre d'objets contenu dans une boite par exemple, consiste entre autre, d'un point de vue didactique, à mettre en correspondance terme à terme les mots-nombres de la comptine numérique (un, deux, trois, quatre, ... qui est une suite ordonnée de mots apprise par cœur et sans signification au début de son apprentissage) et les objets de la collection à dénombrer.
Cela correspond d'un point de vue purement mathématique à faire une bijection de $\left[\kern-0.15em\left[ 1;n  \right]\kern-0.15em\right]$ vers l'ensemble à dénombrer. Par exemple, pour dénombrer $\left\{ Seine,Meuse,Vienne,Saône,Rhône \right\}$, il faut faire une bijection avec $\left[\kern-0.15em\left[ 1;5  \right]\kern-0.15em\right]$.
L'enfant numérote, il ordonne en quelque sorte les objets de la collection. Dans notre exemple, la Seine est mise en première place, suivie de la Meuse en deuxième position, etc. jusqu'au Rhône qui est en cinquième et dernière position. Les nombres ont ici un rôle ordinal. En ce qui concerne le nombre total d'objets, nous savons très bien que l'ordre n'a pas d'importance et qu'un autre ordonnancement n'affectera pas le cardinal de cet ensemble. C'est ce que l'on appelle le principe de non pertinence de l'ordre.
Ensuite l'enfant doit comprendre que le dernier mot-nombre prononcé correspond au cardinal de l'ensemble dénombré. C'est pourquoi, il faut dans un premier temps, reposer la question : "Alors, combien y a-t-il d'objets dans cet ensemble ?", même si l'enfant à bien récité la comptine numérique jusqu'à cinq. S'il recommence à dénombrer la collection, c'est qu'il est resté bloqué sur le côté ordinal du nombre et qu'il ne passe pas de l'ordinal au cardinal. On retrouve là, la construction qu'à fait CANTOR concernant l'identification des nombres transfinis ordinaux avec les transfinis cardinaux.


Voyons maintenant certaines des erreurs les plus fréquentes qui permettent de bien comprendre les contraintes à respecter pour dénombrer correctement une collection d'objets. Elles ont permis de préciser et de définir les concepts d'injection, de surjection et de bijection. L'une des idées de CANTOR sera d'utiliser ces concepts de dénombrements aux ensembles infinis.

Erreur1 : Prononcer plusieurs fois le même mot-nombre dans la comptine numérique (un, deux, deux, trois, quatre) mais associer correctement chaque mot-nombre prononcé avec un objet de la collection. Cela correspond d'un point de vue purement mathématique à une relation non fonctionnelle de $\left[\kern-0.15em\left[ 1;4
 \right]\kern-0.15em\right]$ vers $\left\{ Seine,Meuse,Vienne,Saône,Rhône \right\}$. Le problème se situant en $2$.
Cette erreur arrive parfois quand un enfant reprend l'énumération après s'être arrêté de compter un instant à la suite d'un trou de mémoire concernant la comptine numérique ou bien d'une erreur dans sa correspondance terme à terme.
.
Erreur2 : Oublier un mot-nombre dans la comptine numérique (un, deux, trois, cinq, six, ...) mais associer correctement chaque mot-nombre prononcé avec un objet de la collection. Cela correspond d'un point de vue purement mathématique à une fonction de $\left[\kern-0.15em\left[ 1;6
 \right]\kern-0.15em\right]$ vers $\left\{ Seine,Meuse,Vienne,Saône,Rhône \right\}$ qui n'est pas définie en $4$. Ce n'est donc pas une application sur $\left[\kern-0.15em\left[ 1;6  \right]\kern-0.15em\right]$.
Cette erreur est typique au début de l'apprentissage de la comptine numérique et est reliée directement à la mémorisation pure et simple. Ce n'est pas exactement la même chose quand un enfant oublie par exemple vingt-huit alors qu'il connait parfaitement "six, sept, huit, neuf". Dans ce cas, il faudrait vérifier s'il a bien compris la logique de construction de la comptine qui opère à partir de dix-sept.

Erreur3 :Réciter correctement la comptine numérique mais compter plusieurs fois un même objet de la collection. Cela correspond d'un point de vue purement mathématique à une application non injective de $\left[\kern-0.15em\left[ 1;4  \right]\kern-0.15em\right]$ vers $\left\{ Seine,Meuse,Vienne,Saône,Rhône \right\}$. Le problème se situant au niveau de la vienne qui reçoit deux antécédents, les mots-nombres trois et quatre.
Cette erreur correspond typiquement à des enfants qui ratent leur correspondance terme à terme en récitant par exemple trop rapidement la comptine numérique alors qu'ils ne pointent pas les objets dans le même temps. Le pointage pouvant s'effectuer mentalement ou de façon kinesthésique.

Erreur4 : Réciter correctement la comptine numérique mais oublier de compter un objet de la collection. Cela correspond d'un point de vue purement mathématique à une application injective mais non surjective de $\left[\kern-0.15em\left[ 1;4  \right]\kern-0.15em\right]$ vers $\left\{ Seine,Meuse,Vienne,Saône,Rhône \right\}$.
C'est aussi une erreur assez fréquente lors d'un dénombrement dont les causes sont souvent les mêmes que précédemment.

Rem : Certaines erreurs peuvent bien sûr se neutraliser et l'enfant peut quand même donner le bon résultat.

La bijection

Finalement, on voit bien qu'une bijection n'est autre qu'une application injective et surjective.
L'exemple prototypique étant le processus de dénombrement. Cependant, ce concept est bien sûr applicable à des situations beaucoup plus variées comme celui présenté ici.


Aucun commentaire:

Enregistrer un commentaire