Pour montrer qu'un segment et une demi-droite ont même cardinal, il suffit de trouver une construction géométrique qui permette de mettre en relation ces deux ensembles point à point.
Pour cela, on peut tracer une demi-droite ayant pour origine un point sur une demi-droite ayant un support parallèle à la demi-droite [BC) comme ci-dessous.
Déplacer les points M et N afin de visualiser l'unique point correspondant sur l'autre ligne. Le segment ¯AB a une longueur finie, alors que la demi-droite [BC) a une longueur infinie (si tant est quelle en ait une). Pourtant, à chaque point N de la demi-droite [BC) correspond un seul point N′ du segment ¯AB. Cela signifie que nous avons une application de la demi-droite [BC) vers le segment ¯AB.
Inversement, quel que soit le point M que vous choisissez sur le segment ¯AB privé de son extrémité A, il lui correspond un unique point M′ sur la demi-droite [BC). La réciproque de l'application de tout à l'heure est donc également une application. Par conséquent, cette application est une bijection qui met en relation le segment ¯AB∖A et la demi-droite [BN).
Ces deux ensembles de points ont donc même cardinal. On dit aussi qu'ils ont tous les deux la puissance du continu que CANTOR a noté ℵ1.
Concernant le problème de l'extrémité A, il faut se poser la question : que devient le cardinal de l'union d'un ensemble qui a la puissance du continu avec un autre ensemble constitué d'un seul élément ?
La réponse est bien sûr ℵ1, ce que l'on peut traduire par ℵ1+1=ℵ1. Ainsi, le segment (extrémités comprises) ¯AB a bien le même cardinal que ¯AB∖A.
Rem1 : Attention, si le point O se situe sur le point A ou de l'autre côté de A, il ne sera pas possible de parcourir l'un ou l'autre des deux ensembles.
Rem2 : Si les deux ligne ne sont pas placées comme ci-dessus, il suffit par exemple, de déplacer le segment sans changer sa longueur pour se retrouver dans la configuration présentée ci-dessus.
Rem3 : ∀n∈N,ℵ1+n=ℵ1
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