Bijection entre un segment et une demi-droite

Pour montrer qu'un segment et une demi-droite ont même cardinal, il suffit de trouver une construction géométrique qui permette de mettre en relation ces deux ensembles point à point.
Pour cela, on peut tracer une demi-droite ayant pour origine un point sur une demi-droite ayant un support parallèle à la demi-droite $\left[ {BC} \right)$ comme ci-dessous.
Déplacer les points $M$ et $N$ afin de visualiser l'unique point correspondant sur l'autre ligne. Le segment $\overline {AB}$ a une longueur finie, alors que la demi-droite $\left[ {BC} \right)$ a une longueur infinie (si tant est quelle en ait une). Pourtant, à chaque point $N$ de la demi-droite $\left[ {BC} \right)$ correspond un seul point $N'$ du segment $\overline {AB}$. Cela signifie que nous avons une application de la demi-droite $\left[ {BC} \right)$ vers le segment $\overline {AB}$.
Inversement, quel que soit le point $M$ que vous choisissez sur le segment $\overline {AB}$ privé de son extrémité $A$, il lui correspond un unique point $M'$ sur la demi-droite $\left[ {BC} \right)$. La réciproque de l'application de tout à l'heure est donc également une application. Par conséquent, cette application est une bijection qui met en relation le segment $\overline {AB} \backslash A$ et  la demi-droite $\left[ {BN} \right)$.
Ces deux ensembles de points ont donc même cardinal. On dit aussi qu'ils ont tous les deux la puissance du continu que CANTOR a noté ${\aleph _1}$.

Concernant le problème de l'extrémité $A$, il faut se poser la question : que devient le cardinal de l'union d'un ensemble qui a la puissance du continu avec un autre ensemble constitué d'un seul élément ?
La réponse est bien sûr ${\aleph _1}$, ce que l'on peut traduire par ${\aleph _1} + 1 = {\aleph _1}$. Ainsi, le segment (extrémités comprises) $\overline {AB}$ a bien le même cardinal que $\overline {AB} \backslash A$.

Rem1 : Attention, si le point $O$ se situe sur le point $A$ ou de l'autre côté de $A$, il ne sera pas possible de parcourir l'un ou l'autre des deux ensembles.

Rem2 :  Si les deux ligne ne sont pas placées comme ci-dessus, il suffit par exemple, de déplacer le segment sans changer sa longueur pour se retrouver dans la configuration présentée ci-dessus.

Rem3 :  $\forall n \in \mathbb{N},\;{\aleph _1} + n = {\aleph _1}$