Bijection entre deux segments de longueurs différentes

Il peut sembler paradoxal que deux segments de longueurs différentes, puissent avoir le même nombre de points. Pourtant, il suffit de trouver une construction géométrique qui permette de visualiser une correspondance point à point (appelée bijection en mathématique) entre ces deux lignes pour se convaincre qu'il y a bien le même nombre de points dans chaque segment. Pour cela, on peut tracer une demi-droite ayant pour origine l'intersection (quand elle existe) des droites $HJ$ et $IK$ comme ci-dessous.

Loïc Geeraerts, 10 Avril 2013, Created with GeoGebra

Afin de mieux comprendre cette correspondance, déplacez les points $M$ et $N$ pour visualiser l'unique point correspondant sur l'autre segment. Les segments $\overline {JK}$ et $\overline {HI}$ n'ont manifestement pas la même longueur. Pourtant, à chaque point $N$ de $\overline {HI}$ correspond un seul point $N'$ sur le segment $\overline {JK}$. Cela signifie que nous avons une application du segment $\overline {HI}$ vers le segment $\overline {JK}$.
Inversement, quel que soit le point $M$ que vous choisissez sur le segment $\overline {JK}$, il lui correspond un unique point $M'$ sur le segment $\overline {HI}$. La réciproque de l'application de $\overline {JK}$ vers $\overline {HI}$ est donc également une application. Par conséquent, il s'agit d'une bijection qui met en relation ces deux segments.
Ces deux ensembles de points ont donc le même cardinal, que CANTOR a noté $\aleph _1$. On dit d'un ensemble ayant un tel cardinal, qu'il a la puissance du continu.

Rem1 : Normalement une seule demi-droite est nécessaire pour représenter la bijection, mais comme en géométrie dynamique, il est impossible de déplacer à la souris le point $M$ et le point $M'$, j'ai donc choisi de représenter une autre demi-droite afin de pouvoir déplacer directement un point de l'autre segment.
Rem2 : Si les droites $HJ$ et $IK$ sont parallèles, il suffit par exemple, de déplacer l'un des deux segments sans changer sa longueur pour se retrouver dans la configuration présentée ci-dessus. Rem3 : Pour être plus précis, dans le cas d'ensembles infinis, on dit plutôt qu'ils ont même cardinal (ou même puissance) plutôt que même nombre de points.