Loïc Geeraerts, 10 Avril 2013, Created with GeoGebra |
Afin de mieux comprendre cette correspondance, déplacez les points $M$ et $N$ pour visualiser l'unique point correspondant sur l'autre segment. Les segments $\overline {JK}$ et $\overline {HI}$ n'ont manifestement pas la même longueur. Pourtant, à chaque point $N$ de $\overline {HI}$ correspond un seul point $N'$ sur le segment $\overline {JK}$. Cela signifie que nous avons une application du segment $\overline {HI}$ vers le segment $\overline {JK}$.
Inversement, quel que soit le point $M$ que vous choisissez sur le segment $\overline {JK}$, il lui correspond un unique point $M'$ sur le segment $\overline {HI}$. La réciproque de l'application de $\overline {JK}$ vers $\overline {HI}$ est donc également une application. Par conséquent, il s'agit d'une bijection qui met en relation ces deux segments.
Ces deux ensembles de points ont donc le même cardinal, que CANTOR a noté $\aleph _1$. On dit d'un ensemble ayant un tel cardinal, qu'il a la puissance du continu.
Rem1 : Normalement une seule demi-droite est nécessaire pour représenter la bijection, mais comme en géométrie dynamique, il est impossible de déplacer à la souris le point $M$ et le point $M'$, j'ai donc choisi de représenter une autre demi-droite afin de pouvoir déplacer directement un point de l'autre segment.
Rem2 : Si les droites $HJ$ et $IK$ sont parallèles, il suffit par exemple, de déplacer l'un des deux segments sans changer sa longueur pour se retrouver dans la configuration présentée ci-dessus. Rem3 : Pour être plus précis, dans le cas d'ensembles infinis, on dit plutôt qu'ils ont même cardinal (ou même puissance) plutôt que même nombre de points.
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